Djkstra算法示例演示
下面我求下图，从顶点v1到其他各个顶点的最短路径
首先第一步，我们先声明一个dis数组，该数组初始化的值为:
我们的顶点集T的初始化为：T={v1}
既然是求 v1顶点到其余各个顶点的最短路程，那就先找一个离 1 号顶点最近的顶点。通过数组 dis 可知当前离v1顶点最近是 v3顶点。当选择了 2 号顶点后，dis[2]（下标从0开始）的值就已经从“估计值”变为了“确定值”，即 v1顶点到 v3顶点的最短路程就是当前 dis[2]值。将V3加入到T中。
为什么呢？因为目前离 v1顶点最近的是 v3顶点，并且这个图所有的边都是正数，那么肯定不可能通过第三个顶点中转，使得 v1顶点到 v3顶点的路程进一步缩短了。因为 v1顶点到其它顶点的路程肯定没有 v1到 v3顶点短.
OK，既然确定了一个顶点的最短路径，下面我们就要根据这个新入的顶点V3会有出度，发现以v3 为弧尾的有： < v3,v4 >,那么我们看看路径：v1–v3–v4的长度是否比v1–v4短，其实这个已经是很明显的了，因为dis[3]代表的就是v1–v4的长度为无穷大，而v1–v3–v4的长度为：10+50=60，所以更新dis[3]的值,得到如下结果：
因此 dis[3]要更新为 60。这个过程有个专业术语叫做“松弛”。即 v1顶点到 v4顶点的路程即 dis[3]，通过 < v3,v4> 这条边松弛成功。这便是 Dijkstra 算法的主要思想：通过“边”来松弛v1顶点到其余各个顶点的路程。
然后，我们又从除dis[2]和dis[0]外的其他值中寻找最小值，发现dis[4]的值最小，通过之前是解释的原理，可以知道v1到v5的最短距离就是dis[4]的值，然后，我们把v5加入到集合T中，然后，考虑v5的出度是否会影响我们的数组dis的值，v5有两条出度：< v5,v4>和 < v5,v6>,然后我们发现：v1–v5–v4的长度为：50，而dis[3]的值为60，所以我们要更新dis[3]的值.另外，v1-v5-v6的长度为：90，而dis[5]为100，所以我们需要更新dis[5]的值。更新后的dis数组如下图：
然后，继续从dis中选择未确定的顶点的值中选择一个最小的值，发现dis[3]的值是最小的，所以把v4加入到集合T中，此时集合T={v1,v3,v5,v4},然后，考虑v4的出度是否会影响我们的数组dis的值，v4有一条出度：< v4,v6>,然后我们发现：v1–v5–v4–v6的长度为：60，而dis[5]的值为90，所以我们要更新dis[5]的值，更新后的dis数组如下图：
然后，我们使用同样原理，分别确定了v6和v2的最短路径，最后dis的数组的值如下：
因此，从图中，我们可以发现v1-v2的值为：∞，代表没有路径从v1到达v2。所以我们得到的最后的结果为：
起点 终点 最短路径 长度
v1 v2 无 ∞
v3 {v1,v3} 10
v4 {v1,v5,v4} 50
v5 {v1,v5} 30
v6 {v1，v5,v4,v6} 60
代码：
版本一：与图解匹配
1 void Test01() 2 { 3 createDis(); 4 vector pathNum(Size, 0);//用来保存最优路径数量 5 vector path(Size, Start);//每个的点的上溯点是哪个点，用来找出最优路线图 6 vector index(Size, true);//用来标记是否已经遍历过的点 7 pathNum[Start] = 1;//最开始初始化有一条 8 index[Start] = false; 9 int first = 1;10 //在city[Start]的基础上对city[Start][End]的最短距离，第一个出发点不是Start11 for (int i = 0; i < Size; ++i)12 {13 //先找出发点去往下一个最近的点14 int p = -1;15 int minD = INF;16 for (int j = 0; j < Size; ++j)17 {18 if (index[j] && minD > city[Start][j])19 {20 p = j;21 minD = city[Start][j];22 if (first)23 {24 pathNum[p] = 1;25 first = 0;26 }27 }28 }29 if (p == -1)30 break;//遍历完毕31 index[p] = false;//已经遍历过了32 //那么就遍历点p能去往的点33 for (int j = 0; j < Size; ++j)34 {35 //更新点Start->j的距离36 if (index[j] && city[Start][j] > city[Start][p] + city[p][j])37 {38 city[Start][j] = city[Start][p] + city[p][j];39 path[j] = p;//更新路径记录，即到达j的最优路径是经过点p的 40 pathNum[j] = pathNum[p];41 }42 else if (index[j] && city[Start][j] == city[Start][p] + city[p][j])//出现相同路径43 {44 pathNum[j] += pathNum[p];//叠加最优路径数量45 }46 }47 }48 cout << "最短路径为：" << city[Start][End] << endl;49 cout << "最优路径数量为：" << pathNum[End] << endl;50 int k = End;51 //最优路线是反着的，如果要顺着，则使用栈再存一次，这里就不做了52 cout << "最优路线为：" << endl << k << "->";53 while (k!=Start)54 {55 k = path[k];56 cout << k << "->";57 }58 cout << endl;59 60 }
版本二：只有一点点改变，就是从出发点开始遍历
1 void Test02() 2 { 3 createDis(); 4 vector pathNum(Size, 0);//用来保存最优路径数量 5 vector path(Size, Start);//每个的点的上溯点是哪个点，用来找出最优路线图 6 vector index(Size, true);//用来标记是否已经遍历过的点 7 vector Dis(Size, INF); 8 pathNum[Start] = 1;//最开始初始化有一条 9 Dis[Start] = 0;//Start开始出发10 11 //与Test01不同的是，此处在Dis的基础上进行距离更新，第一次出发点一定是Start12 for (int i = 0; i < Size; ++i)13 {14 //先找出发点去往下一个最近的点15 int p = -1;16 int minD = INF;17 for (int j = 0; j < Size; ++j)18 {19 if (index[j] && minD > city[Start][j])20 {21 p = j;22 minD = city[Start][j];23 }24 }25 if (p == -1)26 break;//遍历完毕27 index[p] = false;//已经遍历过了28 //那么就遍历点p能去往的点29 for (int j = 0; j < Size; ++j)30 {31 //更新点Start->j的距离32 if (index[j] && city[Start][j] > city[Start][p] + city[p][j])33 {34 city[Start][j] = city[Start][p] + city[p][j];35 path[j] = p;//更新路径记录，即到达j的最优路径是经过点p的 36 pathNum[j] = pathNum[p];37 }38 else if (index[j] && city[Start][j] == city[Start][p] + city[p][j])//出现相同路径39 {40 pathNum[j] += pathNum[p];//叠加最优路径数量41 }42 }43 }44 cout << "最短路径为：" << city[Start][End] << endl;45 cout << "最优路径数量为：" << pathNum[End] << endl;46 int k = End;47 //最优路线是反着的，如果要顺着，则使用栈再存一次，这里就不做了48 cout << "最优路线为：" << endl << k << "->";49 while (k != Start)50 {51 k = path[k];52 cout << k << "->";53 }54 cout << endl;55 }
其他：
1 #include2 #include 3 4 using namespace std; 5 6 #define INF 999999 7 #define Size 9 8 vector >city(Size, vector (Size, INF));//将距离矩 9 阵初始化为010 11 int Start = 0, End = 8;12 void createDis()13 {14 //一般是输入的，这里就直接初始化了15 city.clear();//清除16 city.push_back({ 0, 1, 5, INF, INF, INF, INF, INF, INF});17 city.push_back({ 1, 0, 3, 7, 5, INF, INF, INF, INF});18 city.push_back({ 5, 3, 0, INF, 1, 7, INF, INF, INF});19 city.push_back({ INF, 7, INF, 0, 2, INF, 3, INF, INF });20 city.push_back({ INF, 5, 1, 2, 0, 3, 6, 9, INF});21 city.push_back({ INF, INF, 7, INF, 3, 0, INF, 5, INF});22 city.push_back({ INF , INF, INF, 3, 6, INF, 0, 2, 7});//723 city.push_back({ INF , INF, INF, INF, 9, 5, 2, 0, 4});24 city.push_back({ INF , INF, INF, INF, INF, INF, 7, 4, 0 });25 }26 27 28 int main()29 {30 Test01();31 Test02();32 return 0;33 }